Das sieht nach einer leeren/defekten Batterie aus.
Da die Gs über eine Batteriezündung verfügt, die den Zündstrom aus der Batterie bezieht, funktioniert das nicht ohne eine halbwegs gesunde Batterie.
Mit leerer Batterie anschieben geht wohl, im Leerlauf läuft der Motor noch, sobald aber Gas gegeben wird, also die Drehzahl steigt, braucht die Zündung soviel Saft, dass es für die Zündfunken nicht mehr reicht.
Aus dem gleichen Grund geht der Motor auch aus, wenn man das Licht einschaltet, dann reichts für die Zündung nicht mehr.
Wenn angeschoben, dann im Leerlauf einige Zeit laufen lassen, damit die Batterie geladen wird. Wenn überhaupt, dann zunächst ohne Licht fahren. Das setzt aber voraus, dass sich die Batterie auch noch laden lässt.
Die Lichtmaschine liefert gerade so viel Leistung, dass es bei intakter Batterie bei min. 12 V Spannung für die Zündung, das Licht und zum Nachladen reicht. Ist die Batterie ganz leer, zieht die zuerst den ganzen Strom.
Daher würde ich die Batterie erstmal laden, dann die Säuredichte messen (lassen). Wenn die den Sollwert von min. 1,22 (besser nahe an 1,28 ) nicht erreicht, dann braucht man eine neue.
Batterien sind Verschleißteile. Nach 4 - 6 Jahren geben die den Geist auf. Bei unsachgemäßer Behandlung - Tiefentladung, zu wenig Elektrolyt usw. - auch wesentlich früher.
Wenn die Batterie neu war, würde ich mir mal Gedanken machen, warum die tiefentladen wurde. Dann hat die Elektrik irgendwo einen Fehler oder das Standlicht war eingeschaltet.
Edit:
Die Spannungsmessung an einem Akku bringt nichts. Man muss die Säuredichte messen oder eine Kapazitätsmessung durchführen.
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